Formule de Legendre

En mathématiques et plus précisément en théorie des nombres, la formule de Legendre donne une expression, pour tout nombre premier p et tout entier naturel n, de la valuation p-adique de la factorielle de n (l'exposant de p dans la décomposition en facteurs premiers de nǃ, ou encore, le plus grand entier ${\displaystyle v}$ tel que ${\displaystyle p^{v}}$ divise n!) :

${\displaystyle v_{p}(n!)=\sum _{k=1}^{\infty }\lfloor n/p^{k}\rfloor =\lfloor n/p\rfloor +\lfloor n/p^{2}\rfloor +\cdots }$ où ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ désigne la partie entière de ${\displaystyle x}$, également notée ${\displaystyle E(x)}$.

Cette formule peut se mettre sous la deuxième forme ${\displaystyle v_{p}(n!)={\frac {n-s_{p}(n)}{p-1}}}$ où ${\displaystyle s_{p}(n)}$ désigne la somme des chiffres de ${\displaystyle n}$ en base ${\displaystyle p}$^[1].